Et huslig tips til den gjerrige: Gå til interiørbutikken og si at du vil ha et SierpiÅ"ski-teppe. Insister på å betale ut fra areal, ikke per meter. Uansett størrelse og omkrets vil prisen da nemlig bli tilnærmet lik null.
Ulempen er at teppet vil være fullt av store, små, mindre, enda mindre og enda mindre hull.
I år er det 100 år siden den polske matematikeren WacÅ aw SierpiÅ"ski publiserte det som på norsk ville hete noe sånt som Om kurver som inneholder bildet av enhver gitt kurve.
SierpiÅ"ski ante nok ikke at dette skulle bli et teppe som bar hans navn. Året før, altså i 1915, kom SierpiÅ"ski-trekanten, og senere skulle det bli både SierpiÅ"ski-kuber, SierpiÅ"ski-kurver og SierpiÅ"ski-svamper.
Først ut var trekanten. Vi fjerner en trekant i midten. Så fjerner vi en trekant i midten av de tre gjenværende svarte trekantene. Så fjerner vi en trekant i midten av de ni gjenværende svarte trekantene. Og så videre. (Illustrasjon: Wereon, Wikimedia Commons)
Med saks og papir
Dette tilhører en del av matematikken som i dag kalles fraktaler, men ikke la det skremme deg. Vi kommer tilbake til det senere. SierpiÅ"ski-teppet er like fascinerende uansett hva du kaller det.
Du begynner med et kvadrat. Så tegner du to loddrette og to vannrette streker som deler kvadratet i ni like store kvadrater. Deretter klipper du ut det midterste.
Til venstre et balnkt ark. I midten har vi klipt ut det midterste kvadratet. Til høyre har vi klippet ut det midterste kvadratet i de åtte resterende kvadratene. (Illustrasjoner: Johannes Rössel, Wikimedia Commons. Montasje: Eivind Torgersen)
Da sitter du igjen med åtte kvadrater. Gjør det samme med hvert av disse. Del dem i ni og klipp ut det midterste kvadratet. Før du går videre, kan du ta en titt på det som er det sentrale ved SierpiÅ"ski-teppet og lignende figurer.
De åtte små kvadratene er kopier av det store slik det så ut før du tok klipperunde nummer to.
og slik kan vi fortsette i det uendelige. (Illustrasjoner: Johannes Rössel, Wikimedia Commons. Montasje: Eivind Torgersen)
Slik kan du holde på i det uendelige. Hvis du zoomer inn, dukker det hele tiden opp nye kvadrater du kan dele i ni mindre kvadrater før du klipper ut det midterste.
For hvert klipp vil arealet bli mindre. Det vil nærme seg null. Likevel vil det aldri bli helt nøyaktig null, altså ingenting, for det vil hele tiden være nye kvadrater å klippe i. Selv om de er langt mindre enn det du får til med kjøkkensaksa.
Slik kan det også se ut. (Illustrasjon: KarocksOrkav, Creative Commons CC BY-SA 3.0)
Slik blir teppet (nesten) gratis
På nivå 0 er arealet lik 1
På nivå 1 er arealet lik 8/9
På nivå 2 er arealet lik 8 2 /9 2
På nivå 3 er arealet lik 8 3 /9 3
På nivå 4 er arealet lik 8 4 /9 4
Og på nivå 50 er arealet lik 8 50 /9 50
På nivå 50 er vi nede på 0,0027. Hvis teppet skal dekke hele stuegulvet, la oss si et areal på 30 m 2, utgjør tepperestene på nivå 50 omtrent 0,0831 m 2. Med en kvadratmeterpris på 300 kroner, er vi da nede i 24,92 kroner. Fortsatt et stykke igjen til gratis, men mye mindre enn de 9000 kronene du måtte ut med i utgangspunktet.
Er du interessert i flere matematiske interiør
